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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 2ly@<i`  
|\"a[G  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. vJTu3?$hK  
-Iy nW@Bg  
　　1、三角函数本质： G[qD_Xuu  
GMS W@./C!  
　　三角函数的本质来源于定义 F aHThAq  
(m1bo&&|x  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Yrj`q:F$Y  
15;<_x<5  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ;b; JE7Q  
].]_FNd{  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： R ^~1;  
f8T6gvAZ  
　　推导： j6OdEy3H  
]( &tWB*  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 QA\d78;  
@CR:pkIc h  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Y&w&7+%u  
ft7xe  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) R"oo\O  
{bxH.|'  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 *jO?eOzB  
j8EJi"`;  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ,2!#d]"p  
 qS]OD]?I  
　　[1] cn/fr|?cc  
2;-h2*O5  
　　两角和公式 QswRi  
E6T8k2xFBn  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB lug',4U\  
6tc+[  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  )\> d>  
ve-arj$|  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB mb&~qY?X  
CT'h;i;  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB $wcea'!$6  
@_2Yu=2d4d  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) S{V$= iOUE  
~E>Rf>  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ?=6'&pq  
5d;'tpQ  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ,JrY"WmSp  
4L21#K\7  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 4klWX"S  
` pVk2~R  
倍角公式 ^p)_R&8  
{wA@$3 [U  
　　Sin2A=2SinA•CosA nglKf X=  
^@Y8xX-  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 9Ev+0MZ/  
ri29+~=   
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） yDbTs;~W  
nR?{ !f\"~  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ~Shu; d  
7=wa@u r  
三倍角公式 B5A2xr  
Je|I?o~#  
　　 _', 1 A  
Mc,So*d&  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) m6Z{I&ZT  
Hc /=@GXx  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Il$>wuTs`  
T@NSM0  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) F>Fd[O)k  
M'!wKM?h  
三倍角公式推导 ZB1=\P  
?_J&U EY  
　　sin3a <^KK\kp  
j Gx/%D  
　　=sin(2a+a) iWp{Ak X  
88Si[!xv  
　　=sin2acosa+cos2asina l~!.3/[yv  
kf=hm@gk  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina H+ eP#yv  
x2D=C.  
　　=3sina-4sin³a |bktm11  
ZQ^FIb!s  
　　cos3a 4{ STa Q  
:u80RykW?  
　　=cos(2a+a) |y~4SF!P->  
YZ%g3JSW_  
　　=cos2acosa-sin2asina d9X ShlB  
&aE[Vz1Yg  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa p`xjqJV!  
xoL)%S"vue  
　　=4cos³a-3cosa z v(3G  
dQ,[+xng  
　　sin3a=3sina-4sin³a n]^j0sw^&  
6 x`Fv''  
　　=4sina(3/4-sin²a) uzrB uy  
Fe*x(y)  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 7 ;JfVq>  
{Bf>Yly  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) >__gC{nT'  
Uf,LfjMm@  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) )N.`(O u  
QYiH/MN'  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] u%o)1Ss4b8  
nT{6E|L  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) $80KVM  
.)e  
　　cos3a=4cos³a-3cosa h#J!K:{`E  
Dd+yc_  
　　=4cosa(cos²a-3/4) p{/tVe@  
-9^:AxBK  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ~:D*\A98  
1$Nlj!  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) I|.ffhtaCO  
+ irk@  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 'fR ?A0  
SC?ESml  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 1D%Aj?&r  
{o1I'YXk  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 2Vol:3;9  
a#14 R?z  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] L H#Xb%&  
 3CF}H  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ^wJWlLt  
RAtNMBo:  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) "<'uY@r"8a  
A{BbvF  
　　上述两式相比可得 x_$"2  
4V#[+[^  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) qP 8x,j  
Hx">6-hG  
半角公式 2Ty#I'H}F  
[  #@9  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); P!pITo2  
o2(kPa  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 7xR|X@  
WQ_MEoV!  
和差化积 "'}0 (5  
bj0B4-7I  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &mb?9M&  
p*s0/&4> ?  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 4*LWL`\ZC9  
v`?X&+o3  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Tmkw_(U+0  
I!hV!QY  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] bT!t]?,~l  
1qrO '>|F  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) &>VlUQH8  
H NvtD  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)  nlH|}"  
m:q3@!0  
积化和差  +YnP-%v  
QE dF"<^  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Z %J*nUFce  
G SX+(q#  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 1a ` pU5  
khFR2!)  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 3+5C!.;X\  
,=D8rX]  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ~z,z$s)  
w)a ivLh`  
诱导公式  D; d>4  
W'MP`v8  
　　sin(-α) = -sinα Nk_][vq  
PEx},G1  
　　cos(-α) = cosα Camf"  
FLUp(xF  
　　sin(π/2-α) = cosα 7_#,S Q  
_t[~o`t|$2  
　　cos(π/2-α) = sinα ~O@?Ht{  
_N+LyKS  
　　sin(π/2+α) = cosα VuV4mIUQe[  
~?4XT" v  
　　cos(π/2+α) = -sinα 9-'$m*) m  
+ 0szJ$H3  
　　sin(π-α) = sinα O<{k04>e  
'.NiemT  
　　cos(π-α) = -cosα o_$ZGPZh  
/u ?8ZK  
　　sin(π+α) = -sinα Ax-<d  
P~}qd\W  
　　cos(π+α) = -cosα 17_0j:@5  
'U[]'Z>  
　　tanA= sinA/cosA O~B 8wvuJ  
Du8cnpI  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα [!u q&  
5KW>  
　　tan（π/2－α）＝cotα AQhlQ@06  
OYa|&?|:  
　　tan（π－α）＝－tanα e@1sF@=  
hRfC>}  
　　tan（π＋α）＝tanα l|y:ltb  
eXv\*TzF%  
万能公式 2<^sItwx  
gp]x%. }8  
　　 `= pmfV  
I,PTNSK9  
其它公式 +44@AWZ  
VhjF!wq;r  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 '&0!@Nd  
~j.&/c_  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 q / ^ 6*  
W WTXd~2Y  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 [p UcvG  
Y1OlI}6e  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 k-Lw b1N6~  
M?u-}MsMW  
　　对于任意非直角三角形,总有 A<A6{p}  
m37AIt<=  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC s$kBXC {:p  
}HI>7#  
　　证: &cK<}o,,  
2:J3P b  
　　A+B=π-C f.W $]eja  
R -!El  
　　tan(A+B)=tan(π-C) iY`4h)b3X  
1vKT?h'Fl  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) O\_V5Ax  
p*!6,E|  
　　整理可得 O3rTEH50  
DQ<$-cl  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC U{ $&|2N  
KFnnr0SS@  
　　得证 #XSU;tDZka  
xI9~ aK  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ?{v=#e B  
3gDENv54  
其他非重点三角函数 |km-T@7J  
9!\L0> w  
　　csc(a) = 1/sin(a) =A"9slo  
2jc 9_z=  
　　sec(a) = 1/cos(a) cOx/MUp(  
S&grfyq  
　　 lW)t4\(  
rwj0ond  
双曲函数 SQP|#@T*9  
B qF8$8|  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 YtgNfi4@h  
.<^b0FAY  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2  3D .i  
rj0CH]7  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) p6{ >vaKfr  
~ _:9 F=o  
　　公式一： <zd`nM  
~9`H|wg!  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： )D"[  
*:[9&pE  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ot.KF:C3`  
H+">P<l9K  
　　cos（2kπ＋α）= cosα h!aP4 '  
1 "Y>h  
　　tan（kπ＋α）= tanα C,;& y_+  
~Vey8IpR  
　　cot（kπ＋α）= cotα ]#DCHyT  
1,8~:M   
　　公式二： `Lec |!  
#vDI[r ;%  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： T_hH='#(g  
a>oV=}@\Z  
　　sin（π＋α）= -sinα (5q`~u^  
,qW24^\  
　　cos（π＋α）= -cosα 7*cD 3  
FWD@ MFrm  
　　tan（π＋α）= tanα rr.K}%M/  
WN SFBF}  
　　cot（π＋α）= cotα N[b/{\!?qH  
Zt/DyTN  
　　公式三： pNI"m.  
uDn_ C  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 1?MI  
Tcir;D  
　　sin（-α）= -sinα ME? K)>  
$Oxi_l  
　　cos（-α）= cosα ZQlF\f {  
hf9Svl?  
　　tan（-α）= -tanα <4[FW?C>'  
gv1~$a[ (  
　　cot（-α）= -cotα Qy40M C6  
2>p/7o  
　　公式四： -6#\p7!%@k  
{uC w\Th  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： y^dx^s1  
+G7Uq5ek  
　　sin（π-α）= sinα <7#2Jt/d  
dM- jW~b  
　　cos（π-α）= -cosα +kBLH 5:]  
TEbrmSWm9  
　　tan（π-α）= -tanα i7YwV  
GE DRZQJ  
　　cot（π-α）= -cotα pqc{to9;[  
H8r~5#Wj  
　　公式五： M HB  
J{B# &V  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： '[U) 1fn`  
B{yGL#vl  
　　sin（2π-α）= -sinα HNR 1| T  
tp y@wk  
　　cos（2π-α）= cosα Y{@q=!R  
L`AVux(I  
　　tan（2π-α）= -tanα <S"cv!g(Y  
:8wD27[3P  
　　cot（2π-α）= -cotα U GEi}^lv  
z^Qe.<  
　　公式六： >l 2w"QKH  
XH5l P%VJ  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： khSii-{A  
F5N<o[{  
　　sin（π/2+α）= cosα r+PqT  
]C+YhAC  
　　cos（π/2+α）= -sinα +a~0A7p  
8SF, Y+W  
　　tan（π/2+α）= -cotα ~fXz], h  
ocCu4.9  
　　cot（π/2+α）= -tanα n= GN2  
%4IKEJX  
　　sin（π/2-α）= cosα 5i#U* #=  
BoeC1#9  
　　cos（π/2-α）= sinα l{n{9&  
!2`qa)  
　　tan（π/2-α）= cotα J`>YzR.6  
pL6I>[  
　　cot（π/2-α）= tanα E(JGj  
`&h{Q<M  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Zhk6  
A(rO4g5,  
　　cos（3π/2+α）= sinα :y^7%2  
:tDyXK *:[  
　　tan（3π/2+α）= -cotα B|#P0<Gfg  
"Sq;jW:9zc  
　　cot（3π/2+α）= -tanα GHd $K1  
$c} c-j-+  
　　sin（3π/2-α）= -cosα p`onA;!.  
QYiFD1Tw9  
　　cos（3π/2-α）= -sinα u r2Is+  
?X) xow  
　　tan（3π/2-α）= cotα !a{$3O*E  
P/} -<  
　　cot（3π/2-α）= tanα O"g  %  
1i-'NpG*  
　　(以上k∈Z) DSJ?R2hV5  
U {F@  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ONu h.qv&C  
87p7MmcB  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = CJWa|(  
I Lrnjtk  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ?<"L41* T  
lz|G1M  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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