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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 pg'4F_  
~van[lhr  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. " `B;Ub :$  
HgUU:f:_Q  
　　1、三角函数本质： dC u+p)5  
!Tf}C`IbJo  
　　三角函数的本质来源于定义 !d U`4Sl  
Y?`[ZK`8  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ;6 Kk`A  
NY'*%=  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 9'f'&W>x  
AEUSma U  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Gf:|?a  
,e##4F  
　　推导： No"!RW0xU  
T'?r{(2j  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 c6Gp$  
c/(8WWZ r6  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) FH(bWe  
-$TK?y   
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) h65 jB  
)2F| f  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 d)Cv] PWN  
7+/  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） <!J*#Vm  
Y'e!lu*X  
　　[1] buye w,+  
`ga-./  
　　两角和公式 [/h^yE7*'  
qG hhUQ}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB `gN2y^W-8  
6NTv.'58$  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  j &R@)*%Qu  
/@YZeSi  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 4c#@3_&  
K1L<d+>I&  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB SFpn`(4  
7B+ HnVv  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) DV4=%A/S  
AZW &9  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) g"|Zn1}  
RY'x,?  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  '{O ]w 2  
V4drn<sV Q  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ]H<!P;WP6v  
<YSB 4\  
倍角公式 ImK.>d0  
`^RY .'a  
　　Sin2A=2SinA•CosA /|m#)$}sc  
G8i2,o(  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 T;|mqaDu.  
!9e~yQ  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） s*u:*337  
Bx vdQNR  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） mwr[)&d\  
1mELvB-el  
三倍角公式 zO.lYMh  
_wVO[RXc/q  
　　 R!|!n?e7  
p`uj5H*Z  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 6+#/.K;  
a%3="g+a  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) pit*SbEl  
!p)O,Ani<B  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) wY0{?z/  
#w IF_ydi2  
三倍角公式推导 Zs][ }0<  
rUvUl0n&[  
　　sin3a )6. `.{|  
{S|R  
　　=sin(2a+a) hG_6+j(7r  
" 90"YbTd  
　　=sin2acosa+cos2asina F !zjg=  
^|a 4/ZL0  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina y,O AaD  
&HS9H= k  
　　=3sina-4sin³a R^ol4o?=yh  
-7tbJZm  
　　cos3a !_HLS^n|  
X"`](63  
　　=cos(2a+a) =r)_PQ:O  
SW|J?BDR  
　　=cos2acosa-sin2asina T5`BHP  
C&{p   
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa RpGtV*n@  
lIyX[g/  
　　=4cos³a-3cosa :(@o]9[8@  
4% 'p!#G1  
　　sin3a=3sina-4sin³a mG (n09;s  
~&!pyb  
　　=4sina(3/4-sin²a) %\iNdp27  
N< 9`!I;d  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]  4Jt; "4M  
~~LE{  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) _EB,fH  
oH\JRm^M3  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) %~ qt+C  
XUxqO21Ar(  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] >7_3M?   
qGJo@ r6(  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ?kk i5+g6_  
X EZe.4< n  
　　cos3a=4cos³a-3cosa  < `+  
lZhC'o$r  
　　=4cosa(cos²a-3/4) I',K:NW  
5?c6SgK  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] v ,yQG  
)0Ug YKU  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) o2o#pT  
Zoh:5%r@  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) *-6b[it  
*wy!C\O  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ze0QGTZF<  
a}ulIFa  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) EdhVXl\Mz  
Rn{'0: :  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] _Ak {fd  
{7!  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] (`C %^EJ  
G"7)}R1  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) iq+2F-  
1b\T&o>6  
　　上述两式相比可得 ?jiCe:x  
*<M|ij{p  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) d# eP;X9  
]a'a\!g~  
半角公式 0H{ }y0*  
z,^Ftj6  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 0;}%f  
&aCjx5nl (  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. @mZQI%/y  
t::!xWs i&  
和差化积 .Fu~}a(W  
UARN@[zC%  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &kMI2H  
TH:-6p]aj  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] yf@Sn hLS  
kEGqZoQf  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +b}~Rkr2  
97AUH $7g  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] S+c-1EP  
Cb19JCSe  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ,n<R[K-uz  
 93qZu(  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) xL D'7wsr  
%GqqqTsa  
积化和差 }I?7qZPf.  
yI;q~so.  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] kt=1NHz{e  
hIqj@/s  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] _mx`Tj&N{  
_Ix<iKV  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] yk+/k 4A\  
|,n^xNx)  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] cZ(|4H{@  
QMT;@'  
诱导公式 :P2v".E  
o 6E]%S  
　　sin(-α) = -sinα VR+2`1Ng  
8Xcs8HXU.  
　　cos(-α) = cosα )VV1(@e  
(w%T;6f  
　　sin(π/2-α) = cosα .^6GS1y Yq  
1y{v( r=+  
　　cos(π/2-α) = sinα j^mocN  
I/iAfJ  
　　sin(π/2+α) = cosα D#Y53`%9  
"Rr>[QE-  
　　cos(π/2+α) = -sinα L0UFrI  
j=!-:E +  
　　sin(π-α) = sinα <epx4  
p!i:  
　　cos(π-α) = -cosα ;8u< 4XW  
D 0urV6wu  
　　sin(π+α) = -sinα jSgrq^U[  
z,sr(*4  
　　cos(π+α) = -cosα ;pAX. Q:VK  
*|2]k.~-N  
　　tanA= sinA/cosA fkoB-j_ F  
ffwh>`~  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα \\Y3\$~&  
jejK:,:  
　　tan（π/2－α）＝cotα SP@AL2p  
#n]G5$Bqt?  
　　tan（π－α）＝－tanα qD\&vNhO\  
=R5C;(  
　　tan（π＋α）＝tanα AHORN)l  
VymD?Tn  
万能公式 DpWx~,4'  
@NjT E,Uq  
　　 y+}YrNr  
l?0\ A  
其它公式 %;/b=[ ^  
NfGo00 !W  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 R7YA!r&g  
]_/? )6(  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 #\|XUi#  
c qbqF'ny  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Y> (tYdlN  
{G`3eQ  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 t$2vHH*O  
g.-0kkHV  
　　对于任意非直角三角形,总有 &1~ !Rj#s  
:fgB! Kol  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC "TlA'Q:I  
{*/1b!  
　　证: qR f2o  
Fz~j3$r0 "  
　　A+B=π-C V$9;:.I/  
e7{Gw.-W  
　　tan(A+B)=tan(π-C) %2hE]k*Y  
dP+m;\nK  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 71t5 qR  
7Dpz|MK%  
　　整理可得 "d4E!5=  
-0,}E7u(  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC rS6{!+   
pNRGNkG3  
　　得证 [BZz5>  
o5=B<y4  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 >!M1LK g  
bU@.=)  
其他非重点三角函数 q8%T%JiN  
@p 9QOqp  
　　csc(a) = 1/sin(a) pw0>UD'"S  
u1&_6- u)  
　　sec(a) = 1/cos(a) J6 =A>f &8  
S7NAE=!.  
　　 $eIaYq]F  
259}_qBS  
双曲函数 "HI.WZ(  
b$q1/vB  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 7\20pVw  
#0> nvHQ0  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 =rC*@9RU  
'"*v6<u  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) V1&kf/cHa  
;lA;@5r5  
　　公式一： ciF3uuP7  
6"4ONU43D  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： }LiNRIN  
4b{} QN_0  
　　sin（2kπ＋α）= sinα +v <qu@z  
1+q|Z y  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 3'(7E2hA  
pVd})NMX*  
　　tan（kπ＋α）= tanα $?No`oz j  
GhQCg( _  
　　cot（kπ＋α）= cotα 8Rgy}i  
?$*$2b!OI  
　　公式二： >So:h*  
;EPu_ :"  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： {t8 hg}n  
a1.Zr9H%  
　　sin（π＋α）= -sinα .6t)Q5>Sc'  
=Xh1-].a^  
　　cos（π＋α）= -cosα )E8^!N e  
u{WPc2^}  
　　tan（π＋α）= tanα qYS,m_  
q&_j/a _  
　　cot（π＋α）= cotα H)Dt"5y9h  
Z6  
　　公式三： "^u%Pecq  
Dl5}1c[z  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 6sK]bi"nQ  
~$wo8  
　　sin（-α）= -sinα >JHtK@g  
h K"%,n}q~  
　　cos（-α）= cosα sV[C+W  
:<|GUf}  
　　tan（-α）= -tanα YL}Qa=;"8  
r>>o,,  
　　cot（-α）= -cotα x1]?:o84x  
,jYG;nE  
　　公式四： ~ Ka6)d<  
}YXTQ@  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： X?H->B  
[U ~,yeu#M  
　　sin（π-α）= sinα KVFBW.  
kQ2>#b  
　　cos（π-α）= -cosα {`;O C(KK{  
S/D^Ln s  
　　tan（π-α）= -tanα ]}Vf_T  
r/+2Yh2  
　　cot（π-α）= -cotα W8]?6==_[  
O`T{8+Gt  
　　公式五： ]h{M]_+4  
) 8)mC[d  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： QA,Eiu  
rDL7K[bK  
　　sin（2π-α）= -sinα Cs^.kWr`u<  
z&3Eb !  
　　cos（2π-α）= cosα _HV7{~(/w  
,I\3Y&@E  
　　tan（2π-α）= -tanα <@}YgT  
{ Jl9(MY  
　　cot（2π-α）= -cotα *N9s\a] OU  
P}r} JT  
　　公式六： <U^'/syR  
`As_<9(J  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ^\<TZT9g{  
%S+< 4  
　　sin（π/2+α）= cosα 1 yO8ez_  
tp$JA%f=  
　　cos（π/2+α）= -sinα T3tEbnU  
R=~e,  
　　tan（π/2+α）= -cotα XgywJ+[0  
!YTZ'X\Dw  
　　cot（π/2+α）= -tanα U]8i|sIM  
XOC~RnN  
　　sin（π/2-α）= cosα 8]5vc<!  
zKn.w+7  
　　cos（π/2-α）= sinα l\V-Y6~Wn  
tCVewp  
　　tan（π/2-α）= cotα w0PTq7  
EMPi1F[O*  
　　cot（π/2-α）= tanα vR.M2F\X  
??d$vx4W  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 0B7)sR  
i|G`lS_L  
　　cos（3π/2+α）= sinα dQ +'8?2  
&Y17A  
　　tan（3π/2+α）= -cotα & vH{$5  
!-!KStM  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Xl&#)m-L  
V/z5DOy.m  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 3f><3 -u  
Mr|>vIo  
　　cos（3π/2-α）= -sinα IAWA+ X  
D6>bV6u'*  
　　tan（3π/2-α）= cotα CJ8!r   
LDH}Q{G  
　　cot（3π/2-α）= tanα b0i0,C>U  
w gKI:T  
　　(以上k∈Z) }B]sRw S  
Z?NOm@T  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 d:"IBRSKQ5  
fU;58;7  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = :6x$L{g5  
eZk):x i_b  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } )Qlp  
FkE.8  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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