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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 prAf9 _J  
3x! <$T  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Xji w&Hz  
i :9[7wti  
　　1、三角函数本质： R5194T/=K  
\a*a+  
　　三角函数的本质来源于定义 I887z,]2B  
PvYoj$].u  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 B/hkOB3]D  
z0Tj/"  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 D~6h}QI(u  
Hfa\XLM  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： N lXkJN  
&V@aIZJf0  
　　推导： <p#jL.9  
/Gj"FT  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 YvG]rGH  
6L% 9]]q  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) uKj/G!j  
MR3 B)  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) +a>y/s]!7[  
Bc az^<LM%  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ( f:Me'r  
bT2B FI4  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 14.kU$!  
3$TPJK  
　　[1] <^&0!vN  
:[Ubdt  
　　两角和公式 }K@v~nm  
m,tc)([y*^  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB *~[QZ  
mT~?"\d\q  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  K,g:vG%N  
/G4k`Zbo  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 3g4qEe&M  
H)WbhE9  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ML/NxX 8  
zL42oPJG>  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Kp$l D  
1u5zQt c   
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ^h~<zZ`  
< KMtfaRv  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  |D1eGh0jx  
VY.r"O.N  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) L&&/C F  
Y] &$``x  
倍角公式 o&4t> q  
M^'l+JE  
　　Sin2A=2SinA•CosA ((!NJ  
ZVs7pM7M  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 7yg\/  
c~ DsI&O  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） [:9 _z#  
i%: Zm:Y  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） `G7BqI]  
KK5WOyH  
三倍角公式 5mK`h:  
T_-qEv'  
　　 %dWq0vy  
 OF62l_Z  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) {{%H{AF`D7  
YMg##~hJ`K  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) W'j(z{txb  
;+>5$Z1k  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) L|l6|,!kD  
'Dp^#N Mm  
三倍角公式推导 '6e?bonO  
!m. R,}bq  
　　sin3a CiQ{X&-W  
x8IGQ%@  
　　=sin(2a+a) L7CU) ;  
JS<J(|R  
　　=sin2acosa+cos2asina 2A1/n%ac  
FLmU t,gj  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Z8My[_  
T45JmJo\  
　　=3sina-4sin³a K xabyh=  
LKK5S8=En  
　　cos3a ^ 8]$s&(  
mo?x#  
　　=cos(2a+a) CB!9@]`A  
=prHkD.z  
　　=cos2acosa-sin2asina &5q%<q(  
iN186b6  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ~}_ ?f *  
f>\Kz/fW  
　　=4cos³a-3cosa X"k1kH:  
23h03iGGn  
　　sin3a=3sina-4sin³a Zx`Z,hZ  
h +.e9#S  
　　=4sina(3/4-sin²a) tBW9 K(  
AFs>ybKb  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ~&b 7]   
ODfd1V Cs  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) so0k#f$iR  
m0N"e mk*0  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) $t3;Iy  
:myVw2{RD  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 6K[IJ(  
,5R{RN86  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) mQ'e_V%3  
P&W_|TW  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 5%0^gh70=  
_E ;Bn2(  
　　=4cosa(cos²a-3/4) H%WV=aK  
3b&8P<|@  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] t}FrGUf@  
vFZpP  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 5kQ@twQ  
[#e@dK  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 74sN. G  
u5w*>'lT  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} vv:&/GS  
m/|v|$f8  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) gX: T LO  
yv+]y_fT  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]  5_\ta'  
jf0-L- D  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] t m 90Si[  
c8Fc&zv  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) HDo+me/>  
<wtkai  
　　上述两式相比可得 OjmyCt;  
,b]tLPv3=  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) cxO^fD6  
C]bm]_:yX  
半角公式 jL>I'*4  
b?nidZmo  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 9T.y1l~ *  
X_eVU-??  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. M*W }8]J  
k0`[wXj  
和差化积 b E%~k  
e,Fu3ZI,  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] EBL,  
4kLTRguE  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ZgfO09zAt  
R!!n"'q  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Qx1a7A&F  
M%>V(Ytt  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1"*1iKq  
'~A<T  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 'hm;z$W  
A/@?H 4d  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) z,"7z {  
'P~t  
积化和差 34 (C()zf  
} ~!upwix  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] D*Gp{"Gg  
 @<H_: &  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 0zDc<8p  
<'VPe=   
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] (jsSZ'S  
$?d6q$ 0  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] xCC;m&|g  
5Mu5hFzK  
诱导公式 F5O}tA>G  
m^|F&^;<  
　　sin(-α) = -sinα $GrWx|e  
,UlQ{Z@B  
　　cos(-α) = cosα bKZ@'c  
kt 6b{28g  
　　sin(π/2-α) = cosα yUPhUh0V  
.7/&PB_^u  
　　cos(π/2-α) = sinα OlyCX  
k/TbfU  
　　sin(π/2+α) = cosα iB7W^Ns  
DgJpx'mX  
　　cos(π/2+α) = -sinα p];(?S z  
sa* dg  
　　sin(π-α) = sinα KR\O^ h X  
zFxh]QZ(I  
　　cos(π-α) = -cosα b D5Fv(mi  
e f2J gP  
　　sin(π+α) = -sinα 3O Ak>M9  
6*>|R6-c  
　　cos(π+α) = -cosα w=kc|k <`n  
%j1$%of  
　　tanA= sinA/cosA xGXB,Ot_Z  
][z1ZW h  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα KWy(,Rh  
0w ,d61(  
　　tan（π/2－α）＝cotα gr_&" oH  
/nl'6@UG  
　　tan（π－α）＝－tanα 1`XHpbwo5&  
P}W S.  
　　tan（π＋α）＝tanα :GyYGH _YD  
B QuMhsba  
万能公式 m.4x4  
i!,05.E8  
　　 J`mp S+pN  
[p?K i  
其它公式 )bUhU!n  
6Js}!+W[H{  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 >$, xK  
+^uA0^ St  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 p:4P!   
<z 0NKM6  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 c'o\Y>;  
= = uG_Hp  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 !crw Bg@  
oc: 9'  
　　对于任意非直角三角形,总有 jEt@ "$  
:,m/eA  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >] BF7C.4'  
/+@, 8`*  
　　证: .Y_HBO  
stl93R  
　　A+B=π-C AoCfwI'  
Pi-< 8MU  
　　tan(A+B)=tan(π-C) pP;!Q+m  
WI$`]Q}0  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) :`qLBQWX%  
kXhk'%q  
　　整理可得 -bS#<_  
/q--Q\S|  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC {q- q  
?|^W>o )J  
　　得证 XEi<!/jh  
kNMrhpo3=  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 %i$g2pLg4  
WZJPXR{*  
其他非重点三角函数 5ovVrUt?`  
+\:$$XJ@  
　　csc(a) = 1/sin(a) CK `,o3B<+  
aleyhqA[  
　　sec(a) = 1/cos(a) S5#K7m  
|~O7a$I#  
　　 -23tEG  
eUY&^P\2T  
双曲函数 Sj~@G@5\u1  
)b-}U2j\{  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 8EmS{VY3  
nO" {lX~  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 mOpv?.L0`E  
i'=?:T:]7-  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) mVO oLA\4g  
7%kAmH}C  
　　公式一： ibR zQEI  
s(@e>aw  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： <z||dX>j2Q  
]7~qR; g  
　　sin（2kπ＋α）= sinα //PwP*  
T:}h,+b Xc  
　　cos（2kπ＋α）= cosα C^A{ec>"|  
f5< 2>  
　　tan（kπ＋α）= tanα hEt|6q(:  
} F5jUd  
　　cot（kπ＋α）= cotα cOr"WZq  
LG"L |S  
　　公式二： _7\Uln<48  
0{L{I[F]m  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： cKDg0qA  
vjH_0PTu!  
　　sin（π＋α）= -sinα U)HU+'-Bq  
~<pd7WEXl  
　　cos（π＋α）= -cosα "}BlJ-  
:BZVodD;p  
　　tan（π＋α）= tanα L2 5V,i2`x  
U^pZoZ3'|  
　　cot（π＋α）= cotα Ir*G |7w  
du6/{q  
　　公式三： ?XAb rRj  
(` |}+K&w  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： @A78S`AN0  
?`7OmN)  
　　sin（-α）= -sinα GIi4(c%:}M  
MXa?<?b  
　　cos（-α）= cosα CJ`BSZ~9P  
D4CA/  
　　tan（-α）= -tanα i%[5d  
&m_ByNAk  
　　cot（-α）= -cotα L -Wr74  
f .<d,[6Y  
　　公式四： wgC<4Gj  
^xbJ% Cu4z  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 'R*uFiM  
i}o~7W)no  
　　sin（π-α）= sinα oPX)j!  
4!4{.k2su/  
　　cos（π-α）= -cosα d41R6>:  
mA,Y<G;  
　　tan（π-α）= -tanα =d D6dQL&  
`b2kN[  
　　cot（π-α）= -cotα SKB!>C  
&Mz}.rk  
　　公式五： 9}[x`lb~  
-*K nN B  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： SIa]^G}!t  
|x* e5{  
　　sin（2π-α）= -sinα n)ii|~C8  
B&Np <Gm  
　　cos（2π-α）= cosα 19&_3z}1E  
/ste7<jl^E  
　　tan（2π-α）= -tanα xV%5`C&! Y  
#q 7kL*  
　　cot（2π-α）= -cotα QP5:wVQ  
rnHoH,  
　　公式六： IE)["Q  
-c63<='  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： XCa S  
KS@\:9Fe  
　　sin（π/2+α）= cosα  1isYj+  
.< Wb  
　　cos（π/2+α）= -sinα FY {%h%,  
`Qkz}y3  
　　tan（π/2+α）= -cotα  /Pb%'0  
8 T1]jD}ap  
　　cot（π/2+α）= -tanα hk**btGu  
x?K0QHsB`c  
　　sin（π/2-α）= cosα ca,BdA>"  
y[RqE_@G  
　　cos（π/2-α）= sinα >`Ux VU8  
?~ >]/c|A  
　　tan（π/2-α）= cotα HGZ$9u/  
>.,u<.le  
　　cot（π/2-α）= tanα G9$`,wL  
8Xiw: R).  
　　sin（3π/2+α）= -cosα s@%Q 9  
d 1c9z  
　　cos（3π/2+α）= sinα +5kO5?kH5  
7 f0DQo2  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 77Qqqbq  
%) <aG.al  
　　cot（3π/2+α）= -tanα bCPTv[r  
FQ~3jx[Fuj  
　　sin（3π/2-α）= -cosα GV1o7Y8Nx  
Ix3h9cUo"  
　　cos（3π/2-α）= -sinα }#}32~G9  
5-+,o6ws  
　　tan（3π/2-α）= cotα LIIoN#S5  
U\dC }-  
　　cot（3π/2-α）= tanα +$]?P?DC  
-Znx)EHeE  
　　(以上k∈Z) X`[=K's$  
,oe|bx aa  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ze}" 77  
+CD4[E0[  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 0A}*q,h,B  
9e=UQtN  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Kv(*}R99  
0RV&?e,r-\  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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